爆発したのはトムです。

おきたら2時半すぎてたループです。
風呂入ってたら余弦定理のなんでa=・・・にa掛けるかがひらめいたので軽く解説しますね。
余弦定理の証明を書いた方にも追加しておきます。
さて、

a=b*cosC+c*cosB…①
b=c*cosA+a*cosC…②
c=a*cosB+b*cosA…③

この式ができるところまではご理解できるかと存じます。できない人は三角比(cos,sin,tan)の意味を理解しましょう。
さて、ここでa=b*cosC+c*cosBのcosCとcosBに注目します。
cosBは③式に一つ。cosCは②式に一つありますね。
では、それぞれ移項した後に①式に代入できるでしょうか？できますが、このブログで書く場合形式がかなり式が面倒かつ見づらくなりますので簡便を。
ちなみに代入しちゃったらなんでb=にb、c=にｃかけるの？っていう疑問が残るかと思います。分からん人は試してみてくださいな。
ある程度頭のよい方は理解できるかと思いますが……うん、難しいと思いますよ。

ではcosBから。①の式はc*cosBですが③の式はa*cosBです。
ならば、ac*cosCにすれば①③ともに共通しますね。
なので①にaを、③式にｃを掛けます。

a^2=ab*cosC+ac*cosB…④
b=c*cosA+a*cosC
c^2=ac*cosB+bc*cosA　移項してac*cosB=c^2-bc*cosA…⑤

さて、こんどはcosCについて。④式を見てください。ab*cosCというものがありますね。
では、②式はどうでしょうか？a*cosCというものがあります。ここは②式にbを掛けるしかないでしょう。

b^2=bc*cosA+ab*cosC　移項してab*cosC=b^2-bc*cosA…⑥

これで必要なものは出揃いました。
④式に⑤式、⑥式を代入しますと

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

はい、余弦定理の証明、終わりです。
普通に代入でしたね、これは盲点でした。俺あほすぎますね。
ちなみに前述のとおり、②、③式をcosC=、cosB=にして代入したあとに整理しても同じことになります。
(つーかもともとa*cosB、a*cosCの形ですのでcosC(B)/aにした後にaかけても同じということですね)

ぶっちゃけa.b.cをかけるより代入して整理したやり方のほうがわかりやすいだろーがカス！って思った人、ちょっと表でろ。
まぁそうなんだけど実際記述すると図の証明のほうが記述量が少なくて楽なんですよ。
まぁ好みにもよりますが、あの２つの式を移項したのを書いてさらに最後に整理して～って書くのはだるいかと思います。

簡単にまとめると
証明の発想にはa=b*cosC+c*cosBのcosB,cosCに注目するまでは一緒であるが
・その後a^2=ab*cosC+ac*cosBにして他の2式でab*cosC＝とac*cosB＝をつくり代入する
・他の２式をcosC=、cosB=に直し、a=の式に代入した後に整理する
の二つの考え方があります。
上の考え方だと暗記していた場合の記述量が少なく、下の考え方はその場での発想が簡易でしょう。
つまり下のほうがより実践的であります。ですが上のほうを知っていた場合はそのほうが楽である。
と、つまりそういうことですね。好みに分かれるかと思いますが、私の場合は下のほうが実践的であるが故に知らなくてもその場で発想できるため、上のほうが暗記すべき、ということになります。

どうでしたか？間違えや、理解できない部分がありましたらコメントよろしくです。