爆発したのはトムです。

クリックで別窓に拡大図。
うん、これはかなり簡単な方法だと思ったから、これを乗せてみた。
俺もう忘れないよ！！
ちなみにやっぱり行列で証明するのはあんまりよろしくないみたい。
まぁ、完全にぺけってわけではないだろうけど。

あ、なんでa=…にa、b=…に（ｒｙ　を掛けるのかが自分の中で納得できましたので解説しますね。
合ってるかはしらんですがまぁこんな感じでしょう。
さて、

a=b*cosC+c*cosB…①
b=c*cosA+a*cosC…②
c=a*cosB+b*cosA…③

この式ができるところまではご理解できるかと存じます。できない人は三角比(cos,sin,tan)の意味を理解しましょう。
さて、ここでa=b*cosC+c*cosBのcosCとcosBに注目します。
cosBは③式に一つ。cosCは②式に一つありますね。
では、それぞれ移項した後に①式に代入できるでしょうか？できますが、このブログで書く場合形式がかなり式が面倒かつ見づらくなりますので簡便を。
ちなみに代入しちゃったらなんでb=にb、c=にｃかけるの？っていう疑問が残るかと思います。分からん人は試してみてくださいな。
ある程度頭のよい方は理解できるかと思いますが……うん、難しいと思いますよ。

ではcosBから。①の式はc*cosBですが③の式はa*cosBです。
ならば、ac*cosCにすれば①③ともに共通しますね。
なので①にaを、③式にｃを掛けます。

a^2=ab*cosC+ac*cosB…④
b=c*cosA+a*cosC
c^2=ac*cosB+bc*cosA　移項してac*cosB=c^2-bc*cosA…⑤

さて、こんどはcosCについて。④式を見てください。ab*cosCというものがありますね。
では、②式はどうでしょうか？a*cosCというものがあります。ここは②式にbを掛けるしかないでしょう。

b^2=bc*cosA+ab*cosC　移項してab*cosC=b^2-bc*cosA…⑥

これで必要なものは出揃いました。
④式に⑤式、⑥式を代入しますと

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

はい、余弦定理の証明、終わりです。
普通に代入でしたね、これは盲点でした。俺あほすぎますね。
ちなみに前述のとおり、②、③式をcosC=、cosB=にして代入したあとに整理しても同じことになります。
(つーかもともとa*cosB、a*cosCの形ですのでcosC(B)/aにした後にaかけても同じということですね)

ぶっちゃけa.b.cをかけるより代入して整理したやり方のほうがわかりやすく、実際書くとき楽だろーがカス！って思った人、ちょっと表でろ。
まぁ半分そうなんだけど実際記述すると図の証明のほうが記述量が少なくて楽なんですよ。
これは解説なのであのように書いています。この証明の仕方にいたるまでの考え方、として捕らえていただければ。

わかんねーよカス！とか間違ってるじゃねーかバロスｗｗｗｗｗｗｗｗｗとかありましたらコメントよろしくです。